画心

目标,计算出“心”的方程式,今天先说平面坐标系是怎么推导的,其实很简单。

先看一下目标:

如果只看x>0部分,可以发现,这是一个椭圆,旋转了一个的角度。所以我们用一个椭圆旋转来得到这个图形。

先设一个椭圆,用最普通的椭圆,长轴3,短轴2,标准方程

(x^2)/4+(y^2)/9<0

图形如下:

然后把这个椭圆旋转-45度,并只取1,4象限,就得到了和目标一致的1,4象限

然后另x=|x|,就得到了关于y轴对称的一个心形。

下边说说代数算法。

对于平面坐标系xoy,以o点为对称点,旋转w度,得到新坐标系uov,那么xoy与uov如下对应关系:

x=cos(w)v-sin(w)u , y=cos(w)u+sin(w)v

这个关系从图上一眼就能看出来:

非常明显,不用多说。

这样,我们设xoy上有标准椭圆(x^2)/4+(y^2)/9<0,那么在uov中,这个椭圆就是我们所求的,所以根据上述转换公式,可以得到我们要求的椭圆方程:

((cos(w)x-sin(w)y)^2)/4+((sin(w)x+cos(w)y)^2)/9<0

然后另x=|x|:

((cos(w)|x|-sin(w)y)^2)/4+((sin(w)|x|+cos(w)y)^2)/9<0

把这个公式丢到mathematica里跑一下,跑出来的图形如下:

发现不太好看,那么调整一下系数,把短轴缩短一点,另a^2=3,得到新方程:

((cos(w)|x|-sin(w)y)^2)/3+((sin(w)|x|+cos(w)y)^2)/9<0

这次出来的图就很顺眼了:

 

 

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